Méthodes de simplification de circuits


les méthodes d'analyse des circuits :

Source de tension équivalente - Théorème de Theveninatome

  Applications du Théorème de Thévenin

balle 1ier Exemple

balle Problème
On étudie le circuit composé d'une source de tension indépendante réelle (E1, R1) , d'une résistance R2 et d'une résistance R3. On cherche la source de Thévenin équivalente entre les noeuds B et M.

balle Réponse: Eth = ; Rth =

La solution va être recherchée de 2 manières différentes :
  1. - en utilisant les définitions de la page détermination
  2. -en utilisant la loi des mailles et en écrivant la relation entre la tension VB - VM et le courant I3 et les éléments du circuit.

balle Calcul de Eth et Rth.

ballePar définition, Eth est la tension mesurée entre les bornes B et M lorsque le courant I3 = 0 (branchement d’un voltmètre idéal).

La loi des mailles donne :
Eth = VB - VM = (VB - VA) + (VA - VM)
Or VB - VA = R3 I3 = 0

Comme I3 = 0, I2 = I1, le diviseur de tension (R1, R2) donne :

Eth = VA - VM =

Par définition Rth est le rapport (VB - VM)/I3 lorsque la source E1 est éteinte. Le schéma devient alors le suivant.

Rth est la résistance équivalente entre les noeuds B et M.fleche Rth =

balle Remarque.

Le schéma obtenu est particulièrement simple. La résistance équivalente se "lit" aisément : entre les bornes B et M, on "voit" la résistance R3 en série avec (R2//R1).

Avec le signe choisi pour I3, la tension VB - VM s'écrit :fleche VB - VM = Eth - Rth I3

 

balle Source de Thévenin calculée par la loi des mailles. - Mailles indépendantes.

ballePour la première fois depuis le début des exercices, se pose la question de savoir combien il y a de mailles indépendantes dans un circuit, c’est-à-dire le nombre de mailles nécessaires et suffisantes pour résoudre le problème posé.

Dans le circuit étudié, il y a 4 noeuds et 5 branches :
  • - les noeuds A, B, C, M, Le noeud C peut être supprimé. Il a été retenu pour une meilleure lecture du schéma.
  • - la branche E1 entre les noeuds C et M,
  • - la branche R1 entre les noeuds C et A,
  • - la branche R2 entre les noeuds A et M,
  • - la branche R3 entre les noeuds A et B
  • - la branche VB - VM entre les noeuds B et M.

Les mailles sont plus difficiles à répertorier. Ici la simplicité du circuit facilite la recherche de toutes les mailles :

  • maille m1 (E1, R1, R2)
  • maille m2 (R2, R3, VB - VM)
  • maille m3 (E1, R1, R1, VB - VM)

L'écriture de la loi des mailles donne :

  • maille m1 : (VA - VM) + (VM - VC) + (VC - VA) = 0
  • maille m2 : (VA - VB) + (VB -VM) + (VM - VA) = 0
  • maille m3 : (VA - VB) + (VB - VM) + (VM - VC) + (VC -VA) = 0

En additionnant les équations des mailles 1 et 2, on trouve :

(VA - VM) + (VM - VC) + (VC - VA) + (VA - VB) + (VB -VM) + (VM - VA) = 0

En ordonnant les tensions :

(VA - VB) + (VB -VM) + (VM - VC) + (VC - VA) + (VA - VM) + (VM - VA) = 0
(VA - VB) + (VB -VM) + (VM - VC) + (VC - VA) = 0

Cette équation est identique à l'équation de la maille 3. Il n'y a donc ici que 2 équations de maille indépendantes.

balleConstat

Le nombre de mailles indépendantes est obtenu en retranchant le nombre de noeuds au nombre de branches + 1. Soit en appelant b le nombre de branches et m le nombre de mailles indépendantes : flechem = b - n + 1 = b - (n -1)

Une fois les mailles indépendantes dénombrées, il n’est pas évident de les construire. Une méthode mathématique existe; elle est basée sur la théorie des graphes qui n’entre pas dans le cadre de ces exercices. Pour contourner la difficulté, on va faire l’hypothèse que tous les circuits étudiés sont planaires (contenus dans un plan). Le nombre de mailles indépendantes est le nombre de "fenêtres" contenues dans le circuit. Ici, il y a 2 fenêtres qui constituent les mailles m1 et m2.

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balleSoit Im1 et Im2 les courants de maille respectifs des mailles indépendantes m1 et m2. Ils sont égaux respectivement aux courants de branche I1 et I3. Les différentes tensions sont :

flecheVC - VM = E1 ; VC - VA = R1 Im1 ; VA - VM = R2 I2 = R2 (Im1 - Im2) ; VB - VA = R3 Im2

D'où les équations des mailles :
  • E1 = (R1 + R2) Im1 - R2 Im2
  • VB - VM = - R2 Im1 + (R2 + R3) Im2

Pour obtenir la source de Thévenin équivalente entre les noeuds B et M, il faut exprimer VB -VM en fonction de E1, Im2 = I3 et des résistances du circuit.
Par conséquent, on élimine Im1 entre les 2 équations.

VB - VM = - () Im2

Soit :flecheEth = ; Rth =

balleRemarque.

La tension Eth et la résistance Rth peuvent être calculées, en appliquant les définitions, sur les équations des mailles

balle Im2 = 0 donne en faisant le rapport entre les 2 équations :

flecheEth = VB - VM =

balleE1 = 0 donne, en éliminant Im1 entre les 2 équations :

flecheRth = = =

En réalité, on peut appliquer les définitions à n'importe quelle étape du calcul précédent.

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serveur eudil Dernière mise à jour : le 24 septembre 1998 Auteur : Marc.Lefebvre réalisation des pages  Olivier  Scrive